Proposición

La proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y solo uno de los valores de verdad: (V) o (F). En otras palabras, una proposición es toda oración que tiene valor de verdad, es decir, que expresa una verdad o una falsedad.

Expresiones No Proposicionales

Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos, imperativos y expresiones de deseo. Algunos ejemplos:

• ¿Adónde vas?
• Prohibido pensar
• El alto costo de la vida
• ¡Cállate la boca!
• Ojalá este fin de semana gane la lotería

Estas frases no son proposiciones, pues no son ni verdaderas ni falsas. No tienen valor de verdad.

Clasificación de las Proposiciones

Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable se llaman proposiciones simples o atómicas. Por ejemplo: p: 3 + 6 = 9.

Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Por ejemplo: r: Pitágoras era griego y era geómetra, donde p representa «Pitágoras era griego» y q representa «Pitágoras era geómetra».

Notación y Conectivos Lógicos

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir, se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.

Negación

Se llama negación de una proposición p a la que se obtiene anteponiendo la palabra «no» a la proposición dada. La negación de p se indica ~p, que se lee «no p».

Operaciones con Proposiciones

Dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores de verdad, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad.

Conjunción

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p ∧ q. Cuya tabla de verdad es:

La tabla que define esta operación establece que la conjunción es verdadera solo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Disyunción (en sentido amplio o excluyente)

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición:

La disyunción «o» es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario, la palabra «o» es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción solo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Diferencia Simétrica o «O» Exclusivo

Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q:

La verdad de p ⊕ q está caracterizada por la verdad de una y solo una de las proposiciones componentes.

Implicación o Condicional

La implicación de las proposiciones p y q es la proposición:

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación solo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Condición Necesaria y Suficiente

Consideremos la tabla de valores de verdad de la implicación:

Hay tres casos en los que p → q es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el cual resulta q verdadera. Es evidente que hacemos referencia al primer renglón de la tabla y tenemos que si p → q es V y p es V, entonces q es V. Se dice entonces que el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.

En cambio, si p es F, nada podemos decir de q puesto que puede ser V o F. Por otra parte, cuando p → q es V, si q es V, entonces p puede ser V o F; mas para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces que q es condición necesaria para p.

Estas condiciones suelen expresarse del siguiente modo:

• q si p (condición suficiente)
• p solo si q (condición necesaria)

Ejemplo: La siguiente implicación es V: «Si T es equilátero, ENTONCES T es isósceles». En este caso: p: T es equilátero y q: T es isósceles. p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que sea isósceles. Por otra parte, T es equilátero solo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero.

Bicondicional o Doble Implicación

La doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ↔ q.

La doble implicación o bicondicional solo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p ↔ q puede obtenerse mediante la tabla de (p → q) ∧ (q → p), como vemos:

Si p ↔ q es V, entonces el antecedente p es condición necesaria y suficiente para el consecuente q. Análogamente, en el caso de la doble implicación verdadera, el consecuente q es también condición necesaria y suficiente para el antecedente p.

Proposiciones Lógicamente Equivalentes

Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así, se denota: p ≡ q.

Ejemplo: Sea r: p → q, recordamos su tabla de verdad:

Ahora bien, si analizamos la proposición s: ~p ∨ q, su tabla de verdad resulta:

Como vemos, luego de realizar las tablas de valor de verdad, encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:

Tautología – Contradicción – Contingencia

Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo:

Si al evaluar una tabla de verdad, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.

Ejemplo: Si analizamos la proposición t: p ∨ ~p realizando su tabla de verdad:

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición t: p ∨ ~p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.

Ejemplo: Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p → q ) ∧ p } → q:

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica.

Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores, resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción.

Ejemplo: Analicemos la fórmula lógica p ∧ ~p:

Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción.

Leyes del Álgebra Proposicional

Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas, no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

Negación de una Implicación

Las proposiciones p → q = ~(p ∧ ~q) = ~p ∨ q son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir, ~(p → q) ↔ ~{ ~(p ∧ ~q)}, y podemos concluir entonces que:

Es decir, la negación de una implicación no es una implicación, sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.

Ejemplo: Sea la implicación p: Si hoy es viernes entonces mañana es domingo. Su negación es ~p: hoy es viernes y mañana no es domingo.

Implicaciones Asociadas

Funciones, Esquemas y Cuantificadores

Esquema Proposicional

Cuantificadores

A partir de los esquemas proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos ∀x y ∃x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial, respectivamente. Las expresiones:

Corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.

Un esquema proposicional cuantificado universalmente es V si y solo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.

Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, la negación de:

Álgebra de Boole

Las Álgebras de Boole son estructuras algebraicas cuyos axiomas resultan ser un modelo de los axiomas de la teoría de conjuntos y, a su vez, constituyen un método matemático usado en la construcción de circuitos electrónicos y en la investigación operacional, para determinar la respuesta a los circuitos lógicos independientemente del tipo de dispositivo que constituyen dichos circuitos (transistores, relés, etc.).

Álgebra Booleana y Función Conmutación

Usando los resultados de la lógica proposicional podemos desarrollar un sistema algebraico formal cuya base es la lógica desarrollada.

Funciones Booleanas o de Conmutación, Formas Normales, Disyuntiva y Conjuntiva

Por lo tanto: