Introducción a la Lógica Proposicional y sus Aplicaciones

Introducción a la Lógica Proposicional

Tablas de Verdad

Negación

Tabla: La negación (no p, es falso que p, no es cierto que p)

p	~p
V	F
F	V

Conjunción

Conjunción: (y, pero, también)

p	q	p ^ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disyunción

Disyunción: (o)

p	q	p v q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Disyunción Exclusiva

Disyunción exclusiva: (o es uno o es otro)

p	q	p v q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Condicional

Condicional: (si p, entonces q; p implica q; p solo si q; q se sigue de p)

p	q	p -> q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Bicondicional

Bicondicional: (p si y solo si q; p es una condición necesaria y suficiente para q)

p	q	p <-> q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Tabla de Verdad para dos variables

p	q
V	V
V	F
F	V
F	F

Tabla de Verdad para tres variables

p	q	r
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Fundamentos del Razonamiento Lógico

La lógica es la ciencia de las leyes del pensamiento o del razonamiento.

Pensadores clave:

Leibniz (1646-1716)
George Boole (1815-1864)
Aristóteles (384-322 a. C.)

Clasificación de la Lógica

Inductivo: Se parte de premisas particulares para llegar a una conclusión general. Ejemplo: Es común que el Corinthians gane los partidos que disputa. El Corinthians está jugando, entonces va a ganar.
Deductivo: Se parte de premisas generales para llegar a una conclusión particular. Ejemplo: Todo hombre es mortal. Dunga es hombre. Luego, Dunga es mortal.

Proposiciones y Argumentos

Proposiciones: Son oraciones declarativas que pueden ser verdaderas o falsas.

Argumentos: Conjunto de proposiciones (premisas) que llevan a una conclusión.

Ejemplos:

Premisa: Todo número par es divisible por 2. – Premisa: El número 8 es divisible por 2. – Conclusión: Por lo tanto, el número 8 es un número par.
Premisa: Todos los estudiantes aman las matemáticas. – Premisa: Felipe es un estudiante. – Conclusión: Por lo tanto, Felipe ama las matemáticas.
Premisa: Si no llueve, voy a jugar al fútbol. – Premisa: Llovió. – Conclusión: Por lo tanto, no voy a jugar al fútbol. (Nota: La conclusión correcta sería»Por lo tanto, no voy a jugar al fútbo», asumiendo que la primera premisa es verdadera).

Principios Fundamentales de la Lógica

Identidad: Una proposición verdadera es verdadera. Una proposición falsa es falsa.
No contradicción: Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
Tercero excluido: Toda proposición es verdadera o falsa.

Ejemplos de Fórmulas Lógicas

p: Hace frío. q: Está lloviendo.
~p ^ ~q: No hace frío y no llueve.
(p ^ ~q) -> p: Si tienes frío y no llueve, entonces hace frío.
p v ~q: Hace frío o no llueve.
p -> ~q: Si hace frío, entonces no está lloviendo.
p <-> ~q: Hace frío si y solo si no está lloviendo.

Construcción de Proposiciones a partir del Lenguaje Natural

p: Gisele es alta. q: Gisele es elegante.
Gisele es alta y elegante: p ^ q
Gisele es alta, pero no es elegante: p ^ ~q
No es cierto que Gisele es baja y elegante: ~(~p ^ q)
Es falso que Gisele es baja o que no es elegante: ~(~p v ~q)

Orden de Precedencia de los Conectivos Lógicos

(1) ~ (negación)
(2) ^ (conjunción) y v (disyunción)
(3) -> (condicional)
(4) <-> (bicondicional)

Por lo tanto, el término de enlace más fuerte es la negación y el más débil es el bicondicional.

Expresiones en Lenguaje Natural y sus Equivalentes Lógicos

(^): y, pero, también, por otra parte
(v): o
(->): si p, entonces q; p implica q; p solo si q; q se sigue de p
(<->): p si y solo si q; p es una condición necesaria y suficiente para q
(~): no es p; es falso que p; no es verdad que p

Ejercicios de Lógica

Problema 1

Cinco chicas están sentadas en la primera fila del salón de clases: María, Mariana, Marina, Marisa y Matilde. Marisa está en un extremo y Marina en el otro. Mariana se sienta junto a Marina y Matilde junto a Marisa. Responde:

a) ¿Cuántas hay entre Marina y Marisa? 3

b) ¿Quién está en el medio? María

c) ¿Quién está entre Matilde y Mariana? María

d) ¿Quién está entre Marina y María? Mariana

e) ¿Cuántas hay entre Marisa y Mariana? 2

Problema 2

¿Cuál es el número que falta en el cuadrado de abajo?

5	10	5
6	14	8
3	10	7

Problema 3

Cuatro estudiantes retiraron libros de la biblioteca. Cada uno es de una serie diferente y sus nombres son: Juan, Felipe, Luisa y Paula. Ellos están leyendo diferentes géneros literarios: suspenso, humor, aventura y romance. Uno de ellos está en la página 8, otro en la página 34, el tercero en la página 67 y el último, casi terminando el libro, está en la página 108. Descubrirás: el nombre y el número de serie de cada niño, el tipo de libro que está leyendo y en qué página está cada uno. Para ello, presta atención a las pistas:

Juan está en la página 67.
La niña de 1ª serie está en el comienzo del libro de humor.
Felipe, que está en cuarto grado, no lee libros de suspenso ni romances.
Paula está en segundo grado, pero no está en la página 108.
El chico de 3º grado está leyendo una novela.

Solución:

Juan / 3ª serie / Romance / Pág. 67
Luisa / 1ª serie / Humor / Pág. 8
Felipe / 4ª serie / Aventura / Pág. 108
Paula / 2ª serie / Suspenso / Pág. 34

Problema 4

Hubo 30 personas en una fiesta y se gastaron $30.00 en boletos, de la siguiente manera:

Hombre paga $2.00
Mujer paga $0.50
Niño paga $0.10

¿Cuántos hombres, cuántas mujeres y cuántos niños fueron a la fiesta?

Solución: 14 hombres, 1 mujer y 15 niños.

Tautología, Contradicción y Contingencia

Tautología: es una proposición cuyos valores en su tabla de verdad son siempre verdaderos.
Contradicción: es una proposición cuyos valores lógicos en su tabla de verdad son siempre falsos.
Contingencia: es una proposición que no es ni tautología ni contradicción.

Equivalencia Lógica

La equivalencia lógica se utiliza para validar afirmaciones y juegos, y tiene propiedades similares a la aritmética de números, conocidas como «Álgebra de las proposiciones».

Problema de Equivalencia Lógica

Tres amigos decidieron ir al cine a ver una película, pero en ese momento solo tenían la opción «Todo es una cuestión de lógica». Luego surgió un debate, ya que algunos afirmaron haber visto la película:

Tuca: Si Joca no vio la película, entonces Kika tampoco la vio.
Joca: Tuca no vio la película, pero Kika sí la vio.
Kika: Yo vi la película o Joca no la vio.

Las proposiciones son:

p: Tuca vio la película.
q: Joca vio la película.
r: Kika vio la película.

Usando la tabla de verdad, contesta las siguientes preguntas:

a) Si todos vieron la película, ¿quién está mintiendo?

b) Si todos están diciendo la verdad, ¿quién no vio la película?

Resolución del Problema

Testimonio de Tuca: ~q -> ~r

p	q	r	~q	~r	~q -> ~r
V	V	V	F	F	V
V	V	F	F	V	V
V	F	V	V	F	F
V	F	F	V	V	V
F	V	V	F	F	V
F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	F	F
F	F	F	V	V	V

Testimonio de Joca: ~p ^ r

p	q	r	~p	r	~p ^ r
V	V	V	F	V	F
V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	V	F
V	F	F	F	F	F
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	F	F

Testimonio de Kika: r v ~q

p	q	r	~q	r v ~q
V	V	V	F	V
V	V	F	F	F
V	F	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	V	F	F	F
F	F	V	V	V
F	F	F	V	V

Tabla de verdad general:

p	q	r	Tuca	Joca	Kika
V	V	V	V	F	V
V	V	F	V	F	F
V	F	V	F	F	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F
F	F	V	F	V	V
F	F	F	V	F	V

Respuestas:

a) Si todos vieron la película, tenemos V(p): V, V(q): V, V(r): V, que corresponde a la primera línea. En este caso, Joca es el que miente.

b) Si todos están diciendo la verdad, estamos en la última línea. Así que nadie vio la película.