Niveles de Razonamiento Geométrico y su Influencia en el Aprendizaje

Niveles de Reconocimiento

• Nivel 1: Reconocimiento de propiedades y elementos físicos globales de las figuras.
• Nivel 2: Reconocimiento de propiedades y elementos matemáticos de los conceptos.

Niveles de Uso de Definiciones

• Nivel 2: Aplicación de definiciones con una estructura lógica simple.
• Nivel 3: Aplicación de cualquier tipo de definición.
• Nivel 4: Admisión de la existencia de definiciones equivalentes.

Niveles de Formulación de Definiciones

• Nivel 1: Descripción de características físicas de las figuras.
• Nivel 2: Lista de propiedades conocidas del concepto (puede ser redundante o insuficiente).
• Nivel 3: Conjunto de propiedades necesarias y suficientes.
• Nivel 4: Demostración de la equivalencia de definiciones.

Niveles de Clasificación

• Nivel 1: Clasificación exclusiva basada en el aspecto físico.
• Nivel 2: Clasificación exclusiva de familias con propiedades contrarias.
• Nivel 3: Clasificación inclusiva o exclusiva según las definiciones usadas.

Niveles de Demostración

• Nivel 2: Verificación de propiedades en uno o varios ejemplos.
• Nivel 3: Demostraciones informales generales con ayuda de ejemplos concretos.
• Nivel 4: Demostraciones formales matemáticamente correctas.

Características de los Niveles de Razonamiento

Lenguaje Específico:

Cada nivel de razonamiento tiene asociado un tipo de lenguaje. Dos personas que se expresen con razonamientos de diferentes niveles no podrán entenderse.

Secuencialidad:

No es posible alterar el orden de adquisición de los niveles, ni saltarse niveles. Para alcanzar la adquisición completa de un nivel de razonamiento, es necesario haber adquirido antes todos los niveles inferiores. Pero es posible no tener completado un nivel y estar con cierto grado de adquisición del nivel siguiente.

Descripción Detallada de los Niveles de Van Hiele

• Nivel 1 (Reconocimiento): Percepción global de las figuras geométricas. Percepción individual de la figura. No hay reconocimiento explícito de las partes, elementos o propiedades matemáticas.
• Nivel 2 (Análisis): Reconocimiento explícito de que las figuras están formadas por partes y elementos. Deducción de propiedades matemáticas a partir de la manipulación y observación. La demostración de las propiedades observadas se hace verificando algunos casos. Capacidad de generalización de las propiedades. No se manejan las partículas lógicas habituales.
• Nivel 3 (Clasificación/Ordenación): Manejo correcto de las partículas lógicas habituales. Capacidad para comprender las definiciones matemáticas y para definir objetos matemáticos. Capacidad para relacionar propiedades de una o varias figuras. Deducción de propiedades a partir de la manipulación y abstracción. La demostración se hace mediante justificaciones abstractas generales. Imposibilidad de realizar demostraciones formales de manera autónoma.
• Nivel 4 (Deducción Formal): Capacidad de razonamiento matemático. Se comprende la estructura axiomática de las matemáticas. Se realizan demostraciones formales autónomas. Se comprenden las definiciones equivalentes al mismo concepto y las distintas demostraciones del mismo resultado.

Más Características de los Niveles

Continuidad:

El paso de un nivel de razonamiento al siguiente se produce de forma continua y pausada.

Localidad:

Una persona puede encontrarse en diferentes niveles de razonamiento al trabajar en distintas áreas de la geometría.

Recursividad:

Los elementos implícitos en el razonamiento de nivel N se hacen explícitos en el razonamiento de nivel N+1.

Heurísticas y Sesgos en el Razonamiento Probabilístico

Heurística de la Representatividad

• Relacionar la probabilidad de un suceso con la probabilidad de cierto conjunto de sucesos de la población total.
• Relacionar la probabilidad de un suceso con la probabilidad de un resultado en el proceso de extracción de muestras.
• Considerar equivalentes muestras pequeñas y muestras grandes.
• Relacionar la probabilidad de un suceso con la distribución de probabilidades teóricas (la “falacia del jugador”).

Heurística de la Disponibilidad

Se basa en la facilidad o dificultad con que se cree que puede crearse dicho suceso.

Falsa Independencia y Dependencia de Sucesos

• Falsa Independencia de Sucesos: Una persona basa su juicio sobre la probabilidad de un suceso en considerarlo como independiente de otro suceso cuando, realmente, no son independientes.
• Falsa Dependencia de Sucesos: Una persona basa su juicio sobre la probabilidad de un suceso en considerarlo como dependiente de otro suceso cuando, realmente, son independientes.

Tipos de Estudiantes según sus Imágenes Mentales (Hershkowitz)

• a) Imágenes solo con ejemplos prototípicos y propiedades visuales: Juicios basados en la apariencia visual de los prototipos.
• b) Imágenes con ejemplos prototípicos y propiedades matemáticas: Juicios basados en las propiedades de esos ejemplos.
• c) Imágenes completas: Variedad de ejemplos. Todas las propiedades importantes. Los ejemplos concretos tienen un papel complementario para dar ideas, verificar conjeturas, etc., que luego se corroboran usando propiedades matemáticas. Juicios basados en el análisis y utilización de las propiedades críticas de los conceptos.

Modelo de Vinner para el Aprendizaje de Conceptos Nuevos

Aplicable tanto para conceptos aislados como para ampliaciones.

Ideas Básicas:

• Concepto Matemático.
• Imagen del Concepto: Creada en la mente del estudiante.
• Definición del Concepto: Verbalizada por el estudiante.

Usualmente, al enseñar un concepto nuevo, los profesores y libros de texto:

1. Presentan definiciones y luego ejercicios de reconocimiento de figuras concretas.
2. O presentan ejemplos de figuras concretas, describen características matemáticas, luego se pide definir y finalmente se proponen ejercicios de reconocimiento.

Se pone más énfasis en las definiciones. Sin embargo, los ejemplos producen un efecto mental más duradero.