El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta el siglo XVII, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Lo que hizo Aristóteles fue prohibir el infinito en acto, «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente[…] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados, pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos.
El Cálculo en el Siglo XVII
De esta forma, encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para cada curva, procedimientos geométricos. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. Como hemos mencionado, Saint Vincent, Pascal, Wallis, entre otros, contribuyeron a este desarrollo. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. Esto, unido a sus trabajos sobre cuadraturas, le hace merecedor a Fermat de un puesto de honor como precursor del cálculo.
Newton, en una carta descubierta en 1934, escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes». Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del siglo XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. Barrow llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho, se marchó de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-. En la lección X de su obra Letiones opticae & geométrica, Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo.
Newton y Leibniz: La Controversia
Para demostrar la potencia de su cálculo, Newton se dedica en unas «pocas» páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc. que habían ocupado a sus predecesores. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence de que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. También Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune, encontrando que la solución era el logaritmo.
Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto, basando su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir-, mientras que Leibniz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. La respuesta de Leibniz no se hizo esperar. «Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones». Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical Transactions, firmado por John Keill, quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio.
El Problema de la Braquistocrona
Como apéndice a nuestra exposición, vamos a relatar, a modo de realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona. Este problema ya interesó en su día a Galileo, aunque este fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro, pues para ello se precisaba del cálculo-. La historia es como sigue. Como ya dijimos, el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular, justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad, para ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo.
Como respuesta final a esta pregunta, tomaremos la que dio Augusto de Morgan: «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que…»