Introducción al Lenguaje Formal de la Lógica

El lenguaje es nuestra herramienta principal para expresarnos, comunicarnos, transmitir conocimientos y emociones, e incluso para jugar con las palabras. Usamos lo que se llama lenguajes naturales, es decir, las lenguas que hablamos los seres humanos.

Sin embargo, esta flexibilidad y riqueza del lenguaje natural tienen una contrapartida: imprecisiones, ambigüedades y malentendidos. Esto ha llevado a que algunos pensadores busquen un lenguaje ideal que elimine estos problemas y permita una comunicación clara y precisa. Este lenguaje ideal no solo beneficiaría a la ciencia y la tecnología, sino que también tendría implicaciones sociales. Filósofos como Ramón Llull en la Edad Media y Leibniz en la época moderna intentaron desarrollar un lenguaje perfecto.

El Lenguaje Formal como Herramienta de Precisión

El lenguaje formal de la lógica surge precisamente con este objetivo: analizar y depurar el lenguaje natural para hacerlo más preciso. Gracias a este lenguaje, podemos estudiar cómo se estructuran los razonamientos y cómo se construyen los argumentos de manera rigurosa.

• Para desarrollar este lenguaje formal, necesitamos partir de un idioma común que nos ayude a establecer reglas y procedimientos. A este idioma base se le llama metalenguaje, y en nuestro caso, el metalenguaje será el español.
• El lenguaje formal que utilizaremos será el de la lógica moderna de enunciados.
• La lógica moderna es una rama de la filosofía que estudia la forma, validez y corrección de los razonamientos y argumentos. Se centra en la estructura del razonamiento y no en su contenido. Es una ciencia formal, lo que significa que deja de lado el significado de las palabras y se enfoca únicamente en la validez de la argumentación.

Formas de Razonamiento: Inducción, Deducción e Inferencia Hipotética

Un razonamiento es el proceso mediante el cual se llega a una conclusión a partir de información previa (llamada premisas), que están conectadas lógica o empíricamente entre sí. El mecanismo que nos permite pasar de las premisas a la conclusión se llama inferencia, y existen tres tipos principales:

• Inducción

  Es un razonamiento en el que se llega a una conclusión general a partir de la observación de casos particulares.

  Por ejemplo, imagina que siempre que ves una hamburguesa de una cadena de comida rápida, tiene una presentación perfecta en la publicidad, pero cuando la compras, nunca se ve igual. A partir de estas observaciones, podrías inducir que “Las hamburguesas de los anuncios siempre se ven mejor que en la realidad”.

  Sin embargo, la inducción no garantiza una verdad absoluta, porque podríamos encontrar excepciones.

• Deducción

  Es un método racional en el que la conclusión se extrae de las premisas de manera estricta, sin depender de la experiencia.

  Por ejemplo:

  Todos los perros tienen patas, mi mascota es un perro por lo tanto tiene 4 patas

• Inferencia hipotética

  Consiste en plantear hipótesis y comprobar si se sostienen lógicamente.

  Por ejemplo, si sales de tu casa y ves que el suelo está mojado, podrías hacer la hipótesis de que ha llovido. Luego podrías comprobar otras cosas (si hay nubes en el cielo, si alguien te dice que regaron las plantas, etc.) para descartar o confirmar la hipótesis inicial.

En la lógica formal de enunciados, se trabajan sobre todo los razonamientos deductivos, ya que permiten llegar a conclusiones necesarias a partir de las premisas. Las hipótesis pueden usarse como apoyo, pero luego se eliminan para no comprometer la certeza del razonamiento.

Ramas de la Lógica Moderna: De la Lógica de Enunciados a la Metalógica

El uso de los silogismos aristotélicos y medievales ha sido reemplazado en los últimos siglos por el desarrollo de la lógica simbólica, especialmente a partir del trabajo del matemático y filósofo alemán Gottlob Frege en el siglo XIX.

La lógica moderna se divide en varias ramas:

• Lógica de enunciados: Parte del lenguaje natural sin analizar en detalle las diferencias entre sujeto y predicado. En este sistema, una proposición simple se representa con una variable, por ejemplo, “Algunos animales son mamíferos” se traduce como p.
• Lógica de predicados o cuantificaciones: Es más precisa que la lógica de enunciados, ya que distingue la cantidad de individuos a los que se refiere el sujeto (uno, algunos, todos) y formaliza los predicados verbales en su estructura lógica.
• Teoría de conjuntos: Utiliza representaciones gráficas y métodos axiomáticos para estructurar su teoría, siendo fundamental en la matemática moderna.
• Lógica informal: Se centra en la teoría de la argumentación, la corrección del lenguaje cotidiano y el estudio de falacias, paradojas y razonamientos defectuosos.
• Metalógica: Reflexiona sobre la lógica en sí misma, analizando sus condiciones, consistencia, coherencia y completitud.

La lógica simbólica moderna busca capturar la diversidad del lenguaje natural a través de un lenguaje formal. Cuando traducimos expresiones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal de la lógica, realizamos un proceso llamado formalización. Para ello, utilizamos un conjunto de signos que veremos a continuación.

Variables, Constantes y Conectores en la Lógica de Enunciados

En la lógica de enunciados, el lenguaje formal utiliza dos tipos principales de signos: variables y constantes. También existen signos auxiliares, como paréntesis y corchetes, que ayudan a estructurar las expresiones lógicas.

Variables proposicionales: Son signos que representan enunciados completos y significativos. Se simbolizan con letras minúsculas del alfabeto, comenzando desde la “p”: p, q, r, s, t. Por ejemplo, la proposición “Carlos juega al fútbol los sábados” puede representarse como p.

Para expresar relaciones entre proposiciones, utilizamos constantes lógicas, también llamadas conectores o juntores, que permiten formar proposiciones compuestas.

• Negador (-): Expresa la negación de un enunciado. Si p representa “Hoy hace sol”, entonces -p significa “No es cierto que hoy haga sol”.
• Conjuntor (^): Representa la conjunción “y”. Por ejemplo, “Pedro estudia y Juan trabaja” se expresa como p ^ q. Para que la conjunción sea verdadera, ambas proposiciones deben ser verdaderas.
• Disyuntor (V): Expresa la alternativa “o”. Por ejemplo, “Voy al cine o me quedo en casa” se representa como p V q. En su versión inclusiva, basta con que una de las proposiciones sea verdadera para que la disyunción lo sea. En su versión exclusiva, solo puede cumplirse una de las dos opciones, como en “El coche es rojo o azul”, que se formaliza como (p V q) ^ – (p ^ q).
• Implicador (→): interpreta “Si…, entonces…”. En la expresión p → q, p es el antecedente y q el consecuente. Por ejemplo, “Si llueve, entonces la calle se moja” se representa como p → q. La única forma en que la implicación es falsa es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
• Coimplicador (↔): Expresa “Si y solo si”. Se usa para definir relaciones de equivalencia, como en “Un número es par si y solo si es divisible por 2”, que se representa como p ↔ q.

Teoría de la Argumentación: Retórica, Dialéctica y Principios para un Debate Racional

Esta teoría está vinculada a dos disciplinas clásicas:

• Retórica: Se ocupa de las técnicas para persuadir a un público y derrotar los argumentos rivales en un debate.
• Dialéctica: Es el arte de argumentar y razonar en un debate con el objetivo de refutar los argumentos opuestos y defender la propia postura.

El propósito de la argumentación no es simplemente demostrar conocimiento o habilidad, sino persuadir utilizando la razón. No se trata de imponer preferencias personales, sino de construir un diálogo cooperativo donde la verdad se alcance mediante el intercambio de ideas.

Desde la lógica informal contemporánea, se han establecido principios básicos de una argumentación correcta. Si no se respetan, se pueden cometer falacias (errores argumentativos) que llevan a debates interminables:

• Principio de búsqueda de la verdad: La argumentación debe estar orientada a encontrar la verdad, no a defender intereses personales.
• Principio de claridad: La exposición de los argumentos debe ser comprensible y evitar la confusión retórica.
• Principio de caridad interpretativa: Se debe interpretar el argumento del oponente con rigor y buena fe, evitando crear una versión distorsionada (falacia del hombre de paja).
• Principio de suspensión de juicio: Si ninguna postura en debate tiene argumentos suficientemente sólidos, la discusión debe quedar en suspenso hasta que se disponga de mejores razones.
• Principio de falibilidad: Todos los participantes deben aceptar que sus argumentos pueden estar equivocados. Ser dogmático impide el diálogo racional.
• Principio de relevancia: Los argumentos deben estar relacionados con el tema central del debate. Se deben evitar distracciones, desviaciones o tácticas engañosas.
• Principio de suficiencia: Para que una conclusión sea aceptada, los argumentos que la respaldan deben ser sólidos y suficientes para refutar otras posiciones.

Modos de Inferencia Lógica: Herramientas para el Razonamiento Deductivo

• Modus ponens: Si tenemos un razonamiento condicional “Si A, entonces B” y sabemos que A es verdadero, podemos inferir que B también lo es.

  Ejemplo: “Si mañana hay examen, entonces debo estudiar hoy. Mañana hay examen. Por lo tanto, debo estudiar hoy.”

• Modus tollens: Si tenemos “Si A, entonces B” y sabemos que B es falso, podemos concluir que A también es falso.

  Ejemplo: “Si el coche tiene gasolina, entonces puede arrancar. El coche no arranca. Por lo tanto, no tiene gasolina.”

• Silogismo hipotético: Si “A implica B” y “B implica C”, entonces podemos concluir que “A implica C”.

  Ejemplo: “Si como demasiado, me duele el estómago. Si me duele el estómago, no puedo dormir. Por lo tanto, si como demasiado, no puedo dormir.”

• Silogismo disyuntivo: En una disyunción “A o B”, si sabemos que A es falso, podemos concluir que B es verdadero.

  Ejemplo: “O el perro está en la casa o está en el jardín. No está en la casa. Por lo tanto, está en el jardín.”

• Reducción al absurdo: Se asume lo contrario de lo que se quiere demostrar y se llega a una contradicción, lo que prueba que la conclusión original es verdadera.

  Ejemplo: “Si todos los estudiantes aprobaran sin estudiar, entonces nadie estudiaría. Pero sabemos que algunos estudian, lo que significa que no todos aprueban sin estudiar.”